文|創(chuàng)瞰巴黎 Peter Tankov

編輯|Meister Xia

導(dǎo)讀

Black-Scholes公式是一個(gè)用于計(jì)算期權(quán)價(jià)格的數(shù)學(xué)公式，由Fischer Black和Myron Scholes于1973年發(fā)表。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)隨機(jī)微積分是理解Black-Scholes理論的最佳工具，并在法國(guó)建立了第一批量化金融教育項(xiàng)目。Black-Scholes公式具有怎樣的優(yōu)勢(shì)和缺陷？它對(duì)期權(quán)交易帶來(lái)哪些影響？

一覽：

• 50年前，F(xiàn)ischer Black和Myron Scholes共同描述了一種判斷看漲期權(quán)價(jià)格的方法。
• 基于動(dòng)態(tài)套期保值策略的Black-Scholes公式使期權(quán)交易的風(fēng)險(xiǎn)控制成為可能，從而促進(jìn)了衍生品市場(chǎng)的發(fā)展。
• 如今，期權(quán)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)管理仍然基于Black和Scholes首創(chuàng)的動(dòng)態(tài)對(duì)沖原理，Black-Scholes公式雖然很少被直接使用，但投資者仍然能夠依托這一公式去表達(dá)更為復(fù)雜的想法。
• 法國(guó)數(shù)學(xué)界在金融數(shù)學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮了關(guān)鍵作用。

法國(guó)致力于數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)，大學(xué)與金融機(jī)構(gòu)也開(kāi)展了緊密合作，在這樣的背景下，法國(guó)的高等學(xué)府首創(chuàng)了諸多金融數(shù)學(xué)課程，這些課程至今仍然代表著該領(lǐng)域的卓越水平。

50年前，F(xiàn)ischer Black和Myron Scholes合著并發(fā)表了一篇具有里程碑意義的論文——《期權(quán)定價(jià)和公司債務(wù)》（The Pricing of Options and Corporate Liabilities），文內(nèi)描述了一種判斷看漲期權(quán)價(jià)格的方法。看漲期權(quán)是一種金融合約，它賦予持有者在未來(lái)某個(gè)特定日期，以特定價(jià)格購(gòu)買某種金融資產(chǎn)（標(biāo)的資產(chǎn)）的權(quán)利（但不是義務(wù)）。盡管這一公式十分重要，但它并非該論文的主要貢獻(xiàn)，畢竟，在Black-Scholes公式推出之前，市場(chǎng)上已有類似理論，其中以Louis Bachelier于1900 年發(fā)表的論文《投機(jī)理論》“Théorie de la Spéculation”最為有名?！镀跈?quán)定價(jià)和公司債務(wù)》的主要貢獻(xiàn)，是Black和Schole論證這一公式所使用的方法。

要想更好理解他們的論證，我們不妨先回顧一下什么是看漲期權(quán)?？礉q期權(quán)的價(jià)格顯然取決于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，后者價(jià)格的高低會(huì)直接影響前者。隨著時(shí)間的推移，資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)上下波動(dòng)，期權(quán)價(jià)格也會(huì)隨之波動(dòng)。從理論上來(lái)說(shuō)，通過(guò)動(dòng)態(tài)購(gòu)買資產(chǎn)，投資者可以建立起一個(gè)投資組合，讓其價(jià)值波動(dòng)與期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)保持一致。這樣，即便投資者已經(jīng)賣出期權(quán)，但只要他持有這種動(dòng)態(tài)投資組合，其頭寸將免受市場(chǎng)波動(dòng)的影響，因此基本可以規(guī)避全部風(fēng)險(xiǎn)。

“Black-Scholes理論的普及可以提高期權(quán)交易的確定性，并更好地實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)管控?！?/p>

Black和Scholes理論的關(guān)鍵在于，如果頭寸無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，那么該頭寸的收益應(yīng)該等同于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如計(jì)息債券）的收益。這一觀點(diǎn)背后的概念叫做“無(wú)套利”。如果投資者的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)頭寸收益與利率不同，那么投資者便可在不承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)的情況下迅速致富。認(rèn)識(shí)到對(duì)沖投資組合的收益等于利率之后，Black和Scholes推導(dǎo)出了期權(quán)價(jià)格方程，投資者可以通過(guò)公式求解。

Black和Scholes使用了一個(gè)期權(quán)對(duì)沖策略，這對(duì)公式而言可謂是“畫龍點(diǎn)睛”：投資者按Black和Scholes公式給出的價(jià)格賣出期權(quán)后，可以立即制定一個(gè)策略來(lái)最大程度地降低，甚至完全消除與該頭寸相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)。在Black-Scholes公式推出之前，市場(chǎng)上并沒(méi)有一套系統(tǒng)性的方法來(lái)計(jì)算出類似的動(dòng)態(tài)套期保值策略，也正因?yàn)榇耍苌肥袌?chǎng)的發(fā)展始終無(wú)法提速。

01 Black-Scholes公式的成長(zhǎng)史

隨著B(niǎo)lack-Scholes公式知名度的不斷提升，期權(quán)交易的安全性得到了顯著改善，風(fēng)險(xiǎn)也被大幅降低。這推進(jìn)了期權(quán)交易的擴(kuò)大和期權(quán)市場(chǎng)的建立，如芝加哥期權(quán)交易所（1973年建立）、巴黎期權(quán)交易市場(chǎng)（1987年建立）等。

Black-Scholes公式的成長(zhǎng)史充滿了動(dòng)蕩與挫折。1987年發(fā)生的金融危機(jī)給它敲響了第一次警鐘：該公式背后的一個(gè)關(guān)鍵假設(shè)是“連續(xù)時(shí)間無(wú)規(guī)行走”（continuous time random walk），這意味著資產(chǎn)價(jià)格在短時(shí)間內(nèi)（如一天）出現(xiàn)大幅波動(dòng)的可能性非常小。然而，1987年10月19日這一天（著名的“黑色星期一”），道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)（當(dāng)時(shí)美國(guó)經(jīng)濟(jì)的主要指數(shù)）下跌了22.6%，令旨在防范此類暴跌的看跌期權(quán)賣家損失慘重。很明顯，當(dāng)市場(chǎng)運(yùn)行狀況良好時(shí)，Black-Scholes公式能為投資者擋住大部分風(fēng)險(xiǎn)，但它無(wú)法抵御黑色星期一這種極端事件的沖擊。

為了應(yīng)對(duì)動(dòng)蕩，金融市場(chǎng)決定調(diào)整公式參數(shù)：與捕捉市場(chǎng)日常微小波動(dòng)的期權(quán)相比，針對(duì)市場(chǎng)崩潰提供保護(hù)的期權(quán)現(xiàn)在會(huì)以更高的波動(dòng)率參數(shù)定價(jià)。由于波動(dòng)率圖在交易員的屏幕上會(huì)呈現(xiàn)類似微笑的形狀，因此這種效應(yīng)被稱為“波動(dòng)率微笑”。自那之后，Black-Scholes公式又出現(xiàn)了更為復(fù)雜的擴(kuò)展：局部波動(dòng)率模型、隨機(jī)波動(dòng)率模型、粗略波動(dòng)率模型等。

當(dāng)然，Black-Scholes公式也受到過(guò)一些學(xué)者的質(zhì)疑，他們認(rèn)為，模型多樣化是提升風(fēng)險(xiǎn)管理的必備要素，例如，可以考慮Benoit Mandelbrot提出的分形幾何模型。然而，由于這些模型無(wú)法進(jìn)行有效的對(duì)沖，它們并未在金融業(yè)得到大規(guī)模推廣。期權(quán)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)管理仍然基于Black和Scholes首創(chuàng)的動(dòng)態(tài)對(duì)沖原理，Black-Scholes公式雖然很少被直接使用，但投資者仍然能夠依托這一公式去表達(dá)更為復(fù)雜的想法。

02 數(shù)學(xué)與金融

鑒于Black-Scholes公式源自一個(gè)方程，人們難免會(huì)想到物理學(xué)中用于描述熱量在固體中傳播的“熱方程”。因此，第一批“礦工”（Quant）來(lái)自物理學(xué)背景似乎不足為奇。然而，數(shù)學(xué)家很快意識(shí)到，最適合開(kāi)發(fā)期權(quán)定價(jià)理論的不是物理學(xué)家，而是他們自己。1979年，Harrison和Kreps發(fā)表了一篇描述資本市場(chǎng)投機(jī)行為的論文，1982年，Harrison又和Pliska發(fā)表了一篇有關(guān)隨機(jī)分析和連續(xù)交易的論文，這兩篇里程碑式的論文發(fā)表后，隨機(jī)分析開(kāi)始被視為描述套利、動(dòng)態(tài)對(duì)沖以及最終期權(quán)定價(jià)的完美工具。在日本數(shù)學(xué)家伊藤清（Kyosi Ito）提出伊藤積分后，巴黎和斯特拉斯堡的概率學(xué)派又進(jìn)一步擴(kuò)充了這一模型?？梢哉f(shuō)，諸多數(shù)學(xué)家都在金融公式中找到了存在感和歸屬感，畢竟，這里不僅充滿了有趣的研究課題，還有充滿求知欲的學(xué)生，以及可靠的合作伙伴。自那之后，數(shù)學(xué)界和金融界開(kāi)展了曠日持久的合作：數(shù)學(xué)家會(huì)幫助交易員評(píng)估期權(quán)，金融界也在不斷為數(shù)學(xué)家們注入靈感。該合作進(jìn)一步推動(dòng)了概率論新分支的出現(xiàn)。

“自那之后，數(shù)學(xué)界和金融界開(kāi)展了曠日持久的合作?！?/p>

不幸的是，部分交易者高估了數(shù)學(xué)模型的威力，誤以為無(wú)論多復(fù)雜的期權(quán)都能實(shí)現(xiàn)完美定價(jià)和對(duì)沖。2008年全球金融危機(jī)爆發(fā)時(shí)，有些人認(rèn)為數(shù)學(xué)家難辭其咎，將罪名扣到了數(shù)學(xué)模型上，認(rèn)為這些“大規(guī)模殺傷性武器”導(dǎo)致了危機(jī)的發(fā)生。但事實(shí)上，危機(jī)的起因并不是數(shù)學(xué)研究太多，而是太少。當(dāng)時(shí)，銀行用來(lái)為擔(dān)保債務(wù)憑證（一種對(duì)危機(jī)負(fù)有主要責(zé)任的金融衍生品）定價(jià)的公式過(guò)于簡(jiǎn)單，與這些復(fù)雜產(chǎn)品相關(guān)的諸多風(fēng)險(xiǎn)都被忽略了。

此次金融危機(jī)不僅撼動(dòng)了金融業(yè)，也為金融數(shù)學(xué)帶來(lái)了深刻的變化。后者的研究重點(diǎn)不再是開(kāi)發(fā)復(fù)雜的期權(quán)定價(jià)模型，而是轉(zhuǎn)向更為穩(wěn)健的投資和風(fēng)險(xiǎn)管理，如金融系統(tǒng)的系統(tǒng)性失靈風(fēng)險(xiǎn)。

03 法國(guó)的貢獻(xiàn)

20世紀(jì)80年代末，巴黎一躍成為一個(gè)擁有眾多銀行和新興期權(quán)市場(chǎng)的國(guó)際金融中心。大批世界頂尖的概率、隨機(jī)分析以及隨機(jī)控制專家都居住在此。另一方面，法國(guó)高等教育體系中的“大學(xué)”（Grandes Ecoles）非常重視數(shù)學(xué)方面的綜合培養(yǎng)，而且許多法國(guó)學(xué)生都熱衷于研究數(shù)學(xué)的新應(yīng)用。

因此，20世紀(jì)80年代末的巴黎成為了數(shù)學(xué)發(fā)展的沃土。在此，金融數(shù)學(xué)得到了大力支持、定量金融走進(jìn)了學(xué)校講堂，大學(xué)與金融機(jī)構(gòu)之間也開(kāi)展了多項(xiàng)合作。這一新領(lǐng)域吸引了多位法國(guó)知名概率學(xué)家的興趣。其中包括Nicole El Karoui、Hélyette Geman、Nicolas Bouleau、Damien Lamberton和Bernard Lapeyre。

1990年，朱西厄數(shù)學(xué)研究所（現(xiàn)索邦大學(xué)）的概率論碩士課程中開(kāi)設(shè)了金融數(shù)學(xué)方向。該專業(yè)吸引了大量來(lái)自巴黎綜合理工學(xué)院和巴黎高科路橋大學(xué)等一流工科院校的學(xué)生，他們不僅在此學(xué)習(xí)了Black-Scholes理論，還運(yùn)用了別具法國(guó)特色的隨機(jī)分析模型。大約在同一時(shí)期，巴黎高科路橋大學(xué)開(kāi)設(shè)了金融數(shù)學(xué)課程。也正因?yàn)榇?，D. Lamberton和B. Lapeyre于1992年出版了合著的《隨機(jī)微積分在金融領(lǐng)域的應(yīng)用》（Calcul stochastique appliquée à la finance）一書。1997年，Nicole El Karoui成為了巴黎綜合理工學(xué)院的教授，并在應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)開(kāi)設(shè)了“金融學(xué)中的隨機(jī)方法”課程。

在次貸危機(jī)爆發(fā)前的10年里，上述專業(yè)和其他相關(guān)專業(yè)的學(xué)生人數(shù)出現(xiàn)了激增，2006年的法國(guó)《世界報(bào)》（Le Monde）甚至稱，“全球每三個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)家中，就有一個(gè)是法國(guó)人”。金融危機(jī)爆發(fā)后，由于銀行招聘崗位暫時(shí)縮減，學(xué)生入學(xué)率在一定程度上有所下降。此外，教學(xué)計(jì)劃的重點(diǎn)也從期權(quán)定價(jià)轉(zhuǎn)向了風(fēng)險(xiǎn)管理和監(jiān)管。如今，法國(guó)“礦工”的增速雖已趨于平緩，但巴黎綜合理工大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，以及歷史悠久的概率與金融碩士課程（現(xiàn)由巴黎綜合理工學(xué)院和索邦大學(xué)共同管理）仍然代表著該領(lǐng)域的卓越水平。